７２の法則とは
先日ある高校生の生徒さんから質問がありました。
「７２の法則ってなんですか？」
昨今の投資ブームの影響だと思いますが、テレビ番組で見て興味を持ったようです。
７２の法則とは、ある年に一括投資した元本が、複利計算で２倍になるのは何年後かを算出するための法則です。
７２を利率（パーセント）で割り算すると算出されます。もし年率６%を見込める株式や投資信託などを買うと、\(\displaystyle 72\div6=12\)となり、１２年後に２倍になる計算になります。
逆に７２を年数で割ると、その年数で元本が２倍になるためには、年率何％の商品を買う必要があるかを計算できます。６年後に２倍に増やしたい場合、\(\displaystyle 72\div6=12\)とすることで、年率１２％必要なことがわかるのです。
その生徒さんが見たテレビ番組の中で、次のようなやり取りがあったそうです。
『利率が0.025％の商品に投資した場合、総額が２倍になるのは何年後でしょうか。』
\[72\div0.025=2880\]
答えは2880年後です。気が遠くなるほど長い年月が必要ですね。
それにしても、なぜ７２なのか、知りたいのはそこですよね。この機会にこの法則を導出してみようと思います。少し背伸びできる高校生レベルであれば、十分理解可能だと思います。
７２の法則の導出
投資した元本を１として、年利\( r \)で\( n \)年間運用したとします。\( n \)年後の総額が２になるとき以下の式が成り立ちます。
\[2=(1+r)^n\]
両辺の自然対数を取ります。
\begin{eqnarray}
\ln2&=&\ln(1+r)^n\\
&=&n\ln(1+r)
\end{eqnarray}
\(1\gg r\)の時、\(\ln(1+r) \simeq r\)と近似できます。
\[\ln2=nr\]
\(\ln2\simeq0.69\)より、
\[0.69=nr\]
\(100r=R\)とすると、
\[69=nR\]
これで、ほぼ完了です。年数\(n\)と利率\(R\)（%）の積が６９になる、６９の法則です。ただ、この６９は１か３くらいでしか割りきれず、使い勝手があまり良くありません。総額を２に近い数で代用すれば、６９を７２にできそうです。７２は１、２、３、４、６、８、９など多くの数で割り切れるため、大変役に立つ数です。\(\ln2.05 \simeq 0.72\)なので、2を2.05に変えれば、欲しかった法則が完成します。
\[72=nR\]
こんなに簡単に導出できました。
この法則は見てわかりやすく、非常に簡潔なものです。アインシュタインで有名な式\(E=mc^2\)も単純で分かりやすく、大変美しい式です。こういった式はそこはかとなく人々を惹きつける力があるように思います。こうした方程式は世界中で多くの人に親しまれています。７２の法則は、１５世紀のイタリアで導き出されたそうです。当時の人たちも現代の人同様に、財産を増やすことに熱心だったに違いありません。本当に面白いですね。
課題
今回の法則導出の過程で、「近似」という考え方が出てきました。これが原因で多くの高校生が戸惑い、モヤモヤした気持ちで問題に向き合っているはずなのです。特に物理を勉強していると本当に多くの機会に「近似」の考え方に出会います。そしてそれをクリアできないと全く先に進めないことが多いのです。近似について高校では何となく触れる程度で、しっかりとした理論を学ぶわけではありません。だから「よく分からないけれど、とりあえず受け入れておこう」と思えなければもとより先に進めないようになっているのです。
今回の近似に利用したのは、「テイラー展開」という方法です。多くの関数はこのテイラー展開を利用することで近似できます。これが分かるようになると、今まで散々モヤモヤしていたものが一気に消え去ってしまうことでしょう。またの機会にしっかり記事にまとめることとして、今回は触りだけ示しておきます。\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f”(0)}{2!}x^{2}+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\cdots \]
これはテイラー展開の中でも特に「マクローリン展開」と呼ばれているものです。これに\(f(x)=ln(1+x)\)を当てはめると、
\[\ln (1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\cdots \]
となります。\(1\gg x\)の時、この\(x^2\)の項以下全ての項はほとんど無視できるほど小さな数になってしまうので、切り捨てることができます。すると、\(\ln(1+x) \simeq x\)と近似ができるという流れになるのです。今回はこれくらいにして、またの機会に詳しく近似について学びましょう。